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더 현명해져라! 리스크 관리의 예술 마스터하기

더 현명해져라! 리스크 관리의 예술 마스터하기

 

만약 당신이 사랑하는 강아지한테 물리고 생존하는 것보다, 번개에 맞고 생존할 확률이 더 높다고 한다면 믿겠는가? 국가안전보장회의(National Safety Council)에 의하면, 개에게 물리고 살아남을 확률은 112,400분의 1인 반면, 번개에 맞고 살아남을 확률은 161,856분의 1이라고 한다. 비록, 얼핏 보면 번개에 맞는것이 더 치명적일 것처럼 들릴지 몰라도, 현실은 더 복잡하다. 그리고 더 놀라운 사실이 있다.\

 

파스칼(Blaise Pascal)이 1656년에 쓴 편지 ‘도박꾼의 파산(Gambler’s Ruin)’에서 최초로 다룬 기초적인 통계 개념은, 만약 우리가 어떤 리스크 사건에 끊임없이 노출되어 있으면, 해당 사건에 대한 우리의 인식 자체가 바뀔 수 있다고 이해하게 되었다.

 

우리는 인생을 살면서 평소에 벼락보다 개들에게 더 많이 노출돼있기 때문에(적어도 당신이 슈퍼악당을 물리치는 기상현상 초능력을 지닌 엑스맨 일원이 아닌 이상), 결과적으로 개한테 물린 상처는 번개보다 더 치명적이다.

 

‘도박꾼의 파산’은 어떤 특정 사건의 확률과, 이를 뒤잇는 사건의 확률간의 통계적인 연결관계를 제공한다. 이 개념은 트레이딩에 있어 기초 설계 블록이다. 이 확률적인 게임에선, 우리가 인지하든 못하든 상관없이, 승패를 가리는데에 있어, 우리의 전략에는 항상 확률이 정해진다.

 

때문에, 우리가 사용하는 전략이 파국으로 이어지는 확률이 언제나 존재한다. 그러나 이것이 어떻게, 아니면 언제 일어날까? 그리고 더 중요한 것은, 우리는 이에 대응해 무엇을 할 수 있을까?

 

벨 연구소(Bell Labs) 과학자, ‘존 L. 켈리 주니어(John L. Kelly Jr.)’가 만든 유명한 ‘켈리 공식(Kelly Criterion)’은, 우리에게 이 질문들의 해답을 찾아줄 수 있다.

간단한 동전 던지기 게임

한번 간단한 동전 던지기 게임의 예를 살펴보자. 만약 동전을 던졌을 때 ‘H(Heads, 동전 앞면)’가 나오면, 도박자는 배팅금을 전부 따내고, 만약 ‘T(Tails, 동전 뒷면)’가 나오면 내기에서 진다. H가 나올 확률을 p로 정의하고, T가 나올 확률을 q = 1 – p라고 정의하자. 이제 불공평한 동전을 사용함으로써 p > 0.5라고 가정해, H가 나올 확률이 T가 나올 확률보다 높다고 하자. 동전을 던질 때마다 받는 보상과 관련된 ϕ 은 확률 변수(random variable)인데,

 

 

여기서ϕ+와ϕ– 는 각각 ‘승’과 ‘패’에 해당되는 내기의 ‘승수/멀티플라이어(multiplier)’를 뜻한다. 우리는 던지는 순간마다 배팅금을 전부 따내거나 잃는 전제하에 게임을 하기 때문에, ϕ+ = 1 이고 ϕ = -1 이다.

 

따라서 동전던지기의 보상 R의 기대값은 다음과 같다

그렇다면 당신은 금액을 얼마나 걸어야 할까? 만약 C0가 당신에게 주어진 ‘초기 자기자본(initial equity)’ – 혹은 돈이라고 가정하고, 매번 당신이 보유한 자기자본 중 f만큼을 내기에 건다고 하자. N번의 내기를 한 이후, 당신의 최종 자기자본CN은 다음과 같다

최적의 배팅금 규모 유도하기 – 켈리 도박

간단한 동전 던지기 게임에서 가장 이상적인 배팅금 규모를 살펴보자. 우선 첫째로 문의해야 할 문제는, 어떤 종류의 최적화를 달성하고 싶은지다. 본 기사에서 우리는, ‘장기적 기대 성장률(expected long-term growth rate)’을 극대화하려고 하겠다, 다른 말로, 독립적으로(independent) 동전을 던질 때의 ‘평균 로그-수익률(average log-return)’이다. 우리의 목표는 E[log(1+fϕ)]를 극대화 시킬 수 있는 를 정하는 것이다. 그 이유는 아래가 성립되기 때문이다.

 

위 공식의 일계 도함수(first derivate)를 0으로 정의해 f를 풀이하면 f = 2p – 1가 나온다. 이는 장기적 기대 성장률을 극대화시키는 배팅 규모이다. 우리는 이를 fKelly = 2p – 1로 표현하겠다.

 

켈리 도박의 ‘일반 공식(general formula)’을 그 어떤 ϕ+ 와 ϕ– 값들과 상관없이 다음과 같이 유도할 수 있다

 

동전 던지기 게임의 시행과 시뮬레이션

 

실험을 수행하기 위해 우리는 코인 던지기 게임을 위의 규칙을 적용해 시뮬레이션 해보았다.

다음은 우리 시뮬레이션의 ‘옵션(parameters, 파라미터, 분포의 경우 ‘모수’를 뜻함)’들이다:

 

  • win_rate: p,  승리할 확률;
  • profit: ϕ+, 결과에서 승리했을때 적용되는 내기의 승수(multiplier);
  • loss: ϕ, 결과에서 패배했을때 적용되는 내기의 승수(multiplier);
  • number_of_tosses: N, 게임의 ‘단일수행(single run)’에서 동전을 던진 횟수;
  • number_of_runs: 게임 수행 갯수;
  • bet_size: 배팅 규모, f;
  • starting_capital: 시작 자본, C0

각 열은 게임 수행을 상징하고, ‘굴리는 자본(running equity)’의 로그함수를 나타내고 있다.

 

 

우선 첫째로, 불공평한 동전을 가지고 30번의 동전 던지기를10번 수행해 실험해보자, 여기서 승리할 확률 p는 70%로 지정하고,  profit = 1와 loss = -1으로 설정하자. 기억을 되돌리면, 이 게임의 켈리 도박 규모는 2p − 1 = 2 · 0.7 − 1 = 40%, 즉 0.4인것을 알 수 있다.

 

 

오버 베팅(Over-Betting, 과도한 베팅), 언더 베팅(Under-Betting, 부족한 베팅), 그리고 켈리 베팅의 특징들

 

한번 반복된 베팅을 여러번 수행해 시뮬레이션함으로써, 베팅규모에 따라 굴리는 자기자본의 성향이 어떻게 바뀌는지 살펴보자. 특히, 오버 베팅, 언더 베팅, 그리고 켈리 베팅을 순서대로 살펴보겠다.

 

오버 베팅

 

이제 우리는 시뮬레이션을 수행해, 이상적인 금액보다 더 큰 베팅 규모가 최종 자기자본에 끼치는 효과를 살펴보겠다. 우선, 1000개의 자기자본 곡선을100번의 동전 던지기와 베팅 규모(bet size) = 80%로 지정해, 이상적인 켈리 베팅 규모 40%보다 두 배의 규모로 시뮬레이션을 해보자.

 

 

우리는 게임을 여러 차례 수행한 결과, 오버 베팅은 파산으로 이어질 가능성이 높은 것을 확인할 수 있다. 그 이유는, 연속으로 패배할 가능성이 ‘비제로(non-zero)’ 로 항상 존재하기 때문인데, 오버 베팅은 이런 경우 기하학적으로 자기자본을 끌어내리기 때문이다.

 

 

언더 베팅

 

다음은, 1000개의 자기자본 곡선을100번의 동전 던지기와 베팅 규모(bet size) = 20%로 지정해, 이상적인 켈리 베팅 규모 40%보다 절반인 규모로 시뮬레이션을 해보자. 이번에는, 우리가 언더 베팅을 하는 경우다.

 

 

보시다시피, 비교적으로 게임을 더 많이 수행할 수록, 언더베팅의 경우 나쁘지 않은 최종 자기자본으로 이어진다. 그러나, 말 그대로 ‘언더 베팅’이기 때문에, 우리는 안정적으로 게임을 해, 자기자본의 성장률을 제한하고 있다는 뜻이기도 하다.

 

켈리 베팅

 

마지막으로, 우리는1000개의 자기자본 곡선을100번의 동전 던지기와 베팅 규모(bet size) =  켈리(Kelly) 로 지정해 시뮬레이션 하겠다.

 

 

보시다시피, 켈리 베팅에서 우리는 최적의 결과를 달성할 수 있다.

 

오버 베팅, 언더 베팅, 그리고 켈리 베팅의 최종 자기자본 분포

 

아래 그래프는 오버 베팅, 언더 베팅과 켈리 베팅의 ‘최종 자기자본의 분포(로그 스케일)’를 순서대로로 보여주고 있다

 

위의 도표를 살필 때, 오버 베팅은 개인이 심지어 높은 승률(70%)을 가졌다해도, 결국에는 파산으로 이어질 확률이 높다는 결과를 보여주고 있는데, 그 이유는 여러차례의 연속 패배가 자기자본을 기하학적으로 하락시키기 때문이다.

 

언더 베팅의 경우, 파산할 확률은 더 낮지만, 자기자본의 성장률을 최적화하지 않는다.

 

켈리 베팅의 경우, 장기적 기대 성장률을 극대화할 수 있지만(이번 케이스의 경우, 최종 기대 로그함수 자기자본/expected final log equity), 언더 베팅과 비교했을때, ‘양(positive)의 구역’에 더 분산된 최종 자기자본의 무리를 확인할 수 있다.

 

비대칭 관계 – 더 좋은 포지션 규모를 위한 (-)켈리 베팅의 응용

 

위의 시뮬레이션 과정을 다양한 베팅 규모들을 놓고 실험을 여러번 반복해, 장기적 기대 수익률와 베팅 규모의 더 세밀한 변화를 살펴보자. 이번에는, 1000개의 자기자본 곡선을100번의 동전 던지기와 ‘시작 자본(starting capital)’ =  100으로 지정해 시뮬레이션 하겠다.

 

 

장기적 기대 성장률을 여러 개의 베팅 규모와 대비해 그래프를 그려보자.

 

 

보시다시피, 베팅 규모와 성장률 사이에 비대칭 관계가 존재하는 것을 해석할 수 있다. 장기적 기대 성장률은, [수학적] 정의상, 켈리 도박을 통해 극대화된다.

 

베팅 규모가 켈리 베팅보다 더 클수록, 장기적 기대 성장률은 훨씬 더 급격하게 떨어지는 반면, 언더 베팅은 덜 심각한 결과로 이어진다. 이 비대칭 관계는 개인 승률에 상관없이 변함없이 일관된다.

 

 

켈리 베팅 규모fKelly 는  가장 이상적인 베팅 규모로, 장기적 기대 성장률을 극대화시키는 결과로 이어진다. 우리는 내기하는 사람이 켈리보다 높은 금액을 걸면, 그 사람은 결국 파산할 확률이 높은것을 알 수 있다.

 

우리는 또 안전하게 내기를 하는 것도 나쁘지 않은 아이디어라는 것을 알 수 있는데, 이는 상대적으로 긍정적인 결과로 이어지기 때문이다.

 

 

이는 어떤 내기에 70% 승률을 가지고 있더라도, 오버 베팅을 하면, 결국에는 우리의 자기자본이 연속된 패배가 일어남으로써 파산될 수 있다는 점을 주목해야 한다. 이 원칙은 심지어 더 불확실성이 심한 게임에도 적용된다.

 

트레이딩에서의 응용 가능성

 

‘정량적(quantitative) 트레이딩’에 있어, 우리는 ‘과거’가 ‘미래’에 더 좋은 선택을 할 수 있는 정보를 담고 있다고 불가피하게 가정한다. ‘전략 백 테스트(strategy back-testing)’는 ‘전략적 수익(strategy returns)’의 확률적 분포를 도출하는데 도울 수 있다.

 

그러나, 우리는 신뢰성 있는 켈리 베팅 계산을 확보하기 위해, 해당 분포가 충분한 ‘안정성(stability)’을 갖췄는지 확인해야 한다. 우리는 ‘동적인 전제(dynamic basis)’에서 ‘롤링 윈도우 기법(rolling-window approach)’을 이용해 확률 분포를 추산함으로써 이를 확인할 수 있다. 동전 던지기 결과는 ‘가우스 기법(Gaussian approach)’으로 쉽게 추산할 수 있지만, 금융시장에서는 예상을 내놓기엔 어렵다.

 

우리는 랜덤으로 결과가 나오는 간단한 동전 던지기 게임보다 금융시장이 훨씬 더 복잡한 사실을 숙지해야 한다. 금융 시장에서 가격은 랜덤으로 변동하지 않는다. 가격 수익 분포는 주로 편향돼 있으며 해당 분포들의 ‘모수(parameter, 파라미터)’들은, 모델 생성을 하기 위해 충분한 ‘안정성(stable)’을 갖추지 않았다(또는, 통계적으로 ‘정상성’이 없다/not stationary).

 

결론

 

이런 불확실성 속에서 최고의 수익을 내기 위해서, 우리는 ‘확률적 배팅(odds at play)’의 마음가짐을 길러야 하는데, 이는 켈리 공식을 이해하고 적용함으로써 가장 실용적인 전략을 추산하는데에 돕기 때문이다.

 

심지어, 당신은 자신의 유리한 게임 전략에 확신을 가지고 있다해도, 확률적으로 움직이는 이 세상에서 당신은 파산의 가능성을 준비해야 할지도 모른다. 특히, 당신이 노출된 리스크가 더 커질 때 더욱 그렇다.

 

트레이딩에서, 어떤 전략의 확률 분포는 찾는 작업은 힘들기 때문에, 언더 베팅 전략(반Half 또는 쿼터Quarter 켈리 전략)은 미지수에 대한 대응력을 높인다. 적어도, 우리가 시장 참가 경험을 늘리면서 수익을 극대화할 수 있는 시간을 더 벌어준다.

 

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  • ?
    후후 2020.05.31 19:10
    이건 뭐임 왜케 어려워 ㅎㅎ

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